Raamatussa π = 3

 

 


 

Jaripekka Juhala & Johannes Haataja - 3.9.2013

pii

KUN LUKEE Raamattua, on aika heittää aivot narikkaan ja nauttia kyydistä. Ei saa antaa vastaantulevien älyllisten töyssyjen häiritä. Kuinka muuten nykyaikainen älykäs ihminen voisi uskoa vuosituhansia vanhojen paimentolaiskansan kirjoitusten jumalaan?

Yksi tunnettu älyllinen töyssy on se, että Raamatussa pii (π), eli ympyrän kehän ja halkaisijan suhdeluku, on 3 – vaikka meille koulussa opetettu likiarvo on 3,14, ja moni lie myös nähnyt Tiede-lehden julisteita, joissa desimaaleja annetaan 9998 enemmän.

LUKU 3 löytyy Raamatusta kahdesta kohdasta, Ensimmäisestä kuninkaiden kirjasta (jakeet 7:23–26) ja Toisesta aikakirjasta (4:2–5). Näissä lähes identtisissä kohdissa aiheena on kuningas Salomon rakentaman temppelin pihalla ollut valtava vesiallas:

”[Allas] oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, aivan pyöreä, ja mittanuoran oli oltava kolmenkymmenen kyynärän pituinen yltääkseen sen ympäri. Korkeutta sillä oli viisi kyynärää.” (2.Aik.%204:2)

Siis altaan kehä oli 30 kyynärää ja halkaisija 10. 30/10 = 3, siis π = 3.

KRISTINUSKON KRIITIKOT ovat huomanneet tämän virheen kyllä, aina Sam Harrisia myöten [1] – kaikkitietävältä Jumalalta kun voisi odottaa parempaa matematiikan tuntemusta!

Mutta ei hätää! Kristityt ja juutalaiset ovat keksineet ongelman ratkaisuksi suuren joukon toinen toistaan mielikuvituksellisempia selityksiä!

Ehkäpä kehä on mitattu astian sisäpuolelta [2] tai kapeammasta kohdasta [3]? Tai entä jos allas ei ollutkaan täydellinen ympyrä, vaan ellipsi [4] tai kuusikulmion [5] muotoinen?

Lisäksi Ensimmäisen kuninkaiden kirjan versiossa mittanuoraa kuvaavasta sanasta käytetään poikkeavaa muotoa, jossa on yksi kirjain lisää (קוה vs. קו). Hepreassa kirjaimia käytetään myös numeroiden ilmaisemiseen, joten sanalle voi laskea lukuarvon laskemalla yhteen sen kirjainten lukuarvot. [6] Kun poikkeavan muodon lukuarvo (111) jaetaan tavallisen muodon lukuarvolla (106), saadaan korjauskerroin π/3 neljän desimaalin tarkkuudella! [7] Nerokasta!

Ehkä joku näistä selityksistä voisi pitää paikkansa. Tai ehkä Raamatussa on virhe.

ILMEINEN RATKAISU ongelmaan on kuitenkin niin itsestäänselvä, että jokaisen peruskoulun matematiikkansa yhä muistavan pitäisi se heti tajuta. On vaikea ymmärtää, miksi muita ratkaisuja on ylipäätään etsitty.

Luvut ovat tietenkin pyöristyksiä.

Raamatussa käytetään jatkuvasti pyöristettyjä lukuja. Ylläolevissa vesialtaan mitoissa käytetty pituusmitta kyynärä mainitaan Vanhassa Testamentissa noin 250 kertaa.

Desimaalijärjestelmä ei ollut vielä tuolloin käytössä, eikä kyynärälle ollut ilmeistä pienempää jakoyksikköä:

Puolikas kyynärä mainitaan kyllä 13 jakeessa (2.Moos. 25:10,17,23, 26:16, 36:21, 37:1,6,10, 1.Kun. 7:31,32,35, Hes. 40:42, 43:17), mutta suurin pituus, jonka ilmaisussa sitä käytetään, on 2,5 kyynärää (esim. 2.Moos. 25:17). Lisäksi kerran mainitaan ”kuu[si] kyynärä[ä] ja vaaksa[]” (1.Sam.%2017:4). ”Kämmenenleveys” (esim. 1.Kun.%207:26) olisi kyynärää pienempi, mutta sitä ei käytetä sen osana.

Kaikki 28 kyynärää (esim. 2.Moos.%2036:9) suuremmat pituudet mainitaan aina tasakymmeninä. Sadat ja tuhannet mainitaan aina tasalukuina – paitsi yhdessä kohdassa (luku 120, 2.Aik.%203:4), jossa hepreankielinen teksti on luultavasti vioittunut kopioidessa. [8]

Kyynärähän on kyynärpään ja keskisormen kärjen välinen matka. Eri ihmisillä on kuitenkin eri mittaiset kyynärät. [9] Kuinka tarkasti kyynäröitä olisi ylipäätään järkeä ilmoittaa?

Jos haluaa leikkiä matemaatikkoa, annetuista luvuista voi laskea myös tarkempia arvioita altaan mitoille. Periaatteessa voitaisiin (luultavasti virheellisesti) olettaa, että altaan mitat on ilmoitettu yhden kyynärän tarkkuudella ja että antiikin Israelissa pyöristettiin puolivälistä kuten nykyään.

Epäyhtälöryhmä tuottaa silloin ratkaisuksi halkaisijalle välin 9,5:stä 9,71:een, ja kehälle 29,85:stä 30,5:een [10] – ja nämäkin luvut ovat tietenkin pyöristyksiä!

TÄSTÄKIN SELITYKSESTÄ eräs innokas ateisti on löytänyt valitettavaa. Pyöristys ei voi olla ratkaisu, koska Raamattu kertoo joitakin pituusmittoja jopa puolen kyynärän tarkkuudella. Sillä on siis (moraalinen?) velvollisuus käyttää samaa tarkkuutta kaikissa kohdissa. [11]

Kritiikki on sen puolesta oikea, että mikäli annetut mitat olisivat puolen kyynärän tarkkuudella, ne eivät voisi olla oikein. Mutta muuten tämä vastaväite on perin erikoinen.

Raamattu ei ole yksi ainoa kirja, vaan vuosisatojen ajalta kertynyt kirjakokoelma. Onko eri kirjoittajilla velvollisuus käyttää samaa tarkkuutta? Ja miksi edes yhden ja saman kirjoittajan pitäisi ilmoittaa kaikki luvut yhtä tarkasti, kun sitä ei odoteta nykyäänkään?

Pahin ongelma tässä kritiikissä on kuitenkin se, että siinä sekoitetaan absoluuttinen ja suhteellinen tarkkuus. Jos 2,5 kyynärää on ilmoitettu puolen kyynärän absoluuttisella tarkkuudella, suhteellinen tarkkuus on silti varsin huono, peräti 20 %

(= 0,5/2,5). Kuusi kyynärää ja vaaksa on tarkkuudeltaan noin 8 %. 28 yhden tarkkuudella on vajaa 4 %.

Mikäli altaan kehä 30 kyynärää olisi ilmoitettu yhden kyynärän tarkkuudella, se olisi Raamatun tarkin kyynäröinä ilmoitettu mitta (reilu 3 %). Mutta luultavasti se on vain lähin kymmen.

MIKSI MUUTOIN JÄRKEVÄT ihmiset takertuvat tällaisiin kohtiin Raamatussa, vaikka ymmärtävät hyvin vastaavat ilmaukset arkikielessä?

Luultavasti juuri siksi, että sanat ovat Raamatussa. Niin näitä kohtia kritisoineilla ateisteilla kuin niitä selitelleillä juutalaisilla ja kristityillä näyttäisi olevan yksi yhteinen oletus:

Jos Raamatussa on yksi virhe, sen voi heittää roskiin. Jos Raamatussa on yksi virhe, se on kristinuskon loppu ja voimme yhtä hyvin lanata kirkot puskutraktoreilla. Ainakaan tuohon satukirjaan ei sovi vedota missään asiassa.

On jotenkin kuvaavaa, että ammattitutkijoiden kirjoittamissa Kuninkaiden kirjojen ja Aikakirjojen kommentaareissa altaan mittoja pidetään järjestelmällisesti pyöristettyinä. [12] Vain harva ammattieksegeetti uskoo Raamatun pilkuntarkkaan erehtymättömyyteen. Kenties juuri siksi he eivät myöskään kompastu jokaiseen pinnallisesti virheeltä näyttävään kohtaan.

Samoin Wolfram Mathworldissa ja mathforum.org:n Dr. Math -palstalla Raamatussa annettuja lukuja pidetään itsestäänselvästi pyöristettyinä ja mittaustarkkuuden rajoittamina. [13]

Vaikka Raamatun erehtymättömyyteen uskookin, ei ole tervettä, että usko seisoo ja kaatuu sen varassa. Silloin vain kuluttaa koko elämänsä etsien ja keksien selityksiä tällaisiin nippeliongelmiin.

Eikö keskeistä ole sittenkin Jeesus? Hänen elämänsä, hänen kuolemansa, hänen ylösnousemuksensa ja kaikki se, mitä se meille merkitsee? Niiden varassa kristinusko seisoo tai kaatuu, [14] ei Salomon teettämän altaan mittojen. Raamatun erehtymättömyys ei ole kristinuskon pääasia. [15]

OIKEAMPIAKIN ONGELMIA Raamatusta voisi löytää, jos ensiksi lopettaisi takertumisen tällaisiin naurettaviin lillukanvarsiin. Niitä itse asiassa löytyisi vaikka näistä samoista Kuninkaiden kirjojen ja Aikakirjojen kohdista (ks. kainalojuttu). Mutta niiden löytäminen vaatii enemmän vaivannäköä, ajattelua ja asiantuntemusta.

 

Altaan ongelmalliset mitat

VAIKKA KUNINKAIDEN kirjoissa ja Aikakirjoissa ei väitetäkään, että π = 3, muita ongelmia temppelin altaan kuvauksista voi löytää [16].

Ensiksikin Vanhan Testamentin kreikankielisessä käännöksessä Septuagintassa (200-l. eKr.) Kuninkaiden kirjoissa altaan kehän sanotaan olevan 33 kyynärää – ei 30, kuten hepreankielisessä tekstissä ja myös Septuagintassa Aikakirjojen puolella. [17]

Luku voi siis olla alunperin 33, ja se on pyöristetty myöhemmin. [18] Toinen vaihtoehto on, että kääntäjät ovat laskeneet sen monimutkaisesti halkaisijan perusteella. [19]

hiram allas salomon temppeli brazen sea

Tämä ongelma ei kuitenkaan koske niinkään Raamatun luotettavuutta kuin sitä, mitä sen tekstissä on alunperin lukenut.

Toiseksi on epäselvää, voiko altaan kerrottu tilavuus, 2000 tai 3000 bat-mittaa, mahtua kyynäröinä annettuihin mittoihin. Koska arviot sekä bat-mitan että kynärän koosta kuitenkin vaihtelevat runsaasti [20] eikä koko ole välttämättä ollut läpi vuosisatojen sama, tässäkään ongelmassa ei luultavasti ole kysymys Raamatun virheestä.

PAHIN ONGELMA on myös helpoin huomata: siinä missä Kuninkaiden kirjat (1.Kun.%207:26) antaa altaan tilavuudeksi 2000 bat-mittaa, [21] luultavasti myöhemmin kirjoitettu Aikakirjat (2.Aik.%204:5) kertoo tilavuuden olevan 3000 bat-mittaa. Kuinka molemmat voisivat pitää paikkansa?

Periaatteessa voisi spekuloida esimerkiksi bat-mitan koon muuttumisella. Tai sillä, että toinen mitta on piripintaan ja toinen oikeasti käytetty vesimäärä (kohdissa on hiukan eri verbirakenne). Tai kenties Aikakirjojen kirjoittaja liioitteli?

Varsin uskottava ratkaisu kuitenkin on, että molemmat tilavuudet on laskettu mittojen perusteella, mutta Kuninkaiden kirjojen kirjoittaja ajatteli altaan olevan puolipallo, ja Aikakirjojen kirjoittaja taas kuvitteli sen lieriöksi. [22]

Molempien kappaleiden tilavuudet voi laskea ilman suoraa piin käyttöä, halkaisijan (d = 10), kehän (c = 30) ja korkeuden

(h = 5) avulla. Puolipallon tilavuudeksi tulee cd2/12 = 250 kuutiokyynärää, ja lieriön tilavuudeksi tulee cdh/4 = 375 kuutiokyynärää.

Juutalaiset rabbit käyttivät peukalosääntönä bat-mitalle kahdeksasosaa kuutiokyynärästä. [23] Tämä tekee puolipallolle 2000 bat-mittaa ja lieriölle 3000 bat-mittaa – juuri teksteissä annetut arvot.

Jos yllä annettu selitys luvuille on oikea, tietenkin jompi kumpi kirjoittaja (luultavasti Aikakirjojen) on ollut väärässä – vaikka molemmat ovatkin arvioineet tilavuuden parhaan kykynsä mukaan.

TOISAALTA kysymyksessä voi myös olla pelkkä kopiointivirhe. [24]




Numeroidut (painetun artikkelin sisältämät) viitteet

 

[1] Harris (2006): Letter to a Christian Nation, s. 60–61. Muita esim. Beckman (2000): p: Erään luvun tarina, s. 19–21, 79–81, 180. Blatner (1999): The Joy of Pi, s. 7–8. Ks. myös keskustelu ”Piin arvo on Raamatussa virheellinen”, Suomi24, http://bit.ly/14Ril5u

[2] Varhaisin tämän argumentin esitys on ensimmäisessä juutalaisessa matemaattisessa teoksessa Mishnat ha-Middot (jae 5:4), jonka eri tutkijat ajoittavat hyvin vaihtelevasti, n. 150–1200; ks. käännös Gandz ed. (1932): The Mishnat ha-Middot, the First Hebrew Geometry of about 150 C. E. and the Geometry of Muhammad Ibn Musa Al-Khowarizmi, the First Arabic Geometry (c. 820), Representing the Arabic Version of the Mishnat ha-Middot, s. 49. Myös mm. Stapel: ”The ’Jewish’ or ’Bible’ Value of ’pi’”, http://bit.ly/9aiTou

[3] Mm. Grigg (1995): ”Does the Bible Say Pi Equals 3.0?”, Creation 17.2, s. 24–25, http://bit.ly/fCYJUH

[4] Mm. Borgersen (2012): ”Does the Bible Say that Pi = 3?”, http://bit.ly/1bCWeBm. On toki totta, että muoto ei ole voinut olla täydellinen ympyrä.

[5] Näistä kertoo Tropfke (1903): Geschichte der Elementar-mathematik in systematischer Darstellung, zweiter Band, s. 109, http://bit.ly/19xGRx3

[6] Wikipedia: Hebrew Numerals, http://bit.ly/416X5d. Melko varmasti järjestelmä on VT:n kirjoituksia myöhempi.

[7] Mm. Missler (1998): ”The Value of Pi”, http://bit.ly/JD47aH. Gal Einai Institute: ”Torah and Mathematics: The Story of p - Part 1”, http://bit.ly/14REYH1

[8] VT:n kohdat läpikäyty konkordanssin Kohlenberger & Swanson (1998): The Hebrew-English Concordance to the Old Testament perusteella; jos väitteissä on virheitä, ne ovat silti omiamme. 2.Aik. 3:4:ssä lukuarvo on ”20” muinaisissa käännöksissä. Ks. New English Translation, 2.Aik. 3, alaviite 7, http://bit.ly/1cJsgjn

[9] Standardoituja kyynäröitä oli toki myös olemassa – joskin eri aikoina ja tarkoituksiin eri pituisia. Tästä mittojen epäselvyydestä mainitaan ohimennen myös Raamatussa (5.Moos.%203:11, 2.Aik.%203:3, Hes.%2040:5, 43:13).

[10] Mikäli kehä olisi pyöristetty ylöspäin, kuten ilmaus mittanuorasta ehkä viittaa, halkaisija olisi 9,5:stä 9,55:een ja kehä 29,85:stä 30:een.

[11] Tobin (2000): ”Mathematical Errors in the Bible”, http://bit.ly/yzDKGi

[12] Montgomery & Gehman (1952/1986): The Book of Kings, The International Critical Commentary, s. 173 n. 1. Gray (1964): I & II Kings, The Old Testament Library, s. 177. Jones (1984): 1 and 2 Kings, New Century Bible Commentary, s. 184. Mulder (1998): I Kings, vol. 1, Historical Commentary on the Old Testament, s. 323. Curtis & Madsen (1910): The Books of Chronicles, The International Critical Commentary, s. 331. Dillard (1987): 2 Chronicles, Word Biblical Commentary, s. 35.Loput tarkastamistamme kommentaareista eivät mainitse koko asiaa: Myers (1965): II Chronicles, The Anchor Bible, s. 22–23. Williamson (1982): 1 and 2 Chronicles, New Century Bible Commentary, s. 210. Japhet (1993): I and II Chronicles, The Old Testament Library, s. 564.

[13] Weisstein: Mathworld: ”Pi”, http://bit.ly/bKBPv7. Mathforum.org, Dr. Math (1999): ”Rounding Pi”, http://bit.ly/gIZomV

[14] Ylösnousemuksesta ks. Juhala (2010): ”Jeesuksen ylösnousemus historiantutkijoiden mukaan”, Cross Section 2010, s. 10–14, http://bit.ly/igOwYq

[15] Ks. Wallace (2006): ”My Take on Inerrancy”, http://bit.ly/10UvxpW . Craig: ”What Price Biblical Errancy?”, http://bit.ly/OJZLBN

[16] p=3 olisi itse asiassa ollut aikanaan aivan tyypillinen käytännön likiarvo. Nykyään esitetyt tarkemmat muinaiset likiarvot (esim. Rhind Papyrus ja Arkhimedes) ovat poikkeuksia – eivätkä käytännön laskuissa useinkaan tarpeen. Ks. Elishakoff & Pines (2007): ”Do Scripture and Mathematics Agree on the Number p?”, B’Or Ha’Torah 17, s. 135–136.

[17] Septuaginta, 3. Kuninkaiden kirja 7:10 (= 1.Kun 7:23). Rahlfs & Hanhart ed. (2006): Septuaginta, Editio altera, s. 642. Pietersma & Wrigh ed. (2007): A New English Translation of the Septuagint, s. 303, http://bit.ly/uxVCVO

[18] Septuaginta tehtiin yli 1000 vuotta ennen varhaisimpia säilyneitä hepreankielisiä käsikirjoituksia. (Qumranin kääröissä kohta on vioittunut, ks. Abegg & al. (1999): The Dead Sea Scrolls Bible, s. 262.)

[19] Jos halkaisijaan 10 kyynärää lisätään altaan reunojen paksuudet 2 kertaa kämmenenleveys, ja kerrotaan tämä piillä, saadaan tulokseksi hiukan alle 32,5, joka pyöristetään ylöspäin 33:een. Ks. Scott (1958): ”Hebrew Cubit”, Journal of Biblical Literature 77.3, s. 209–210.

[20] Bat-mitalle on arvioitu kokoja 22–46 litraa. Ks. mm.: Kohlenberger & Baugartner (1994): The Hebrew-Aramaic Lexicon of the Old Testament, vol. 1, s. 166. Scott (1959): ”Weights and Measures of the Bible”, The Biblical Archaeologist 22.2, s. 29–32.

[21] Septuagintasta koko jae puuttuu.

[22] Alkuperäinen esittäjä Wylie (1949): ”On King Solomon’s Molten Sea”, The Biblical Archaeologist 12.4, s. 86–90 (jatkossa Wylie).

[23] ”[B]ut the [rabbis’] reckoning of bath = ½ cubit cubed is but approximate”, Chanky (1911): ”Weights and Measures”, Encyclopedia Britannica, 11. ed., vol. 28, s. 485, http://bit.ly/14xd5py . Myös Wylie (s. 87) viittaa tähän artikkeliin. Valitettavasti artikkeli ei anna viitteitä eteenpäin rabbiinisiin teksteihin.

[24] Keil (1872): The Books of the Kings, Biblical Commentary on the Old Testament, s. 104, http://bit.ly/14FBsLH . Ks. myös Christian Apologetics and Research Ministry: ”How Many Baths, 2,000 or 3,000?”, http://bit.ly/12afraW

Viitteet tarkistetu 15.5.2013.